5. Funciones matemáticas comunes de Matlab

5. Funciones matemáticas comunes de Matlab

5.1.       Objetivo.

Aprender a utilizar las distintas funciones básicas de matemáticas que contiene Matlab.

Las funciones matemáticas elementales incluyen logaritmos, exponenciales, valor absoluto, funciones de redondeo y funciones que se usan en matemáticas discretas.

5.2.       Funciones para cálculos comunes.

En la tabla 10 se encuentran las funciones que aceptan un escalar o una matriz de n valores. Incluye una breve descripción y un ejemplo del resultado al aplicarlo en Matlab.

Tabla 10. Funciones para cálculos comunes.

Función.Descripción.Ejemplo.
abs(x)Encuentra el valor absoluto de x.abs(-5) ans =           5
sqrt(x)Encuentra la raíz cuadrada de x.sqrt(25) ans =           5
nthroot(x,n)Encuentra la n-esima raíz real de x. Esta función no regresará resultados complejos. Por tanto, (-2)^(1/3) no regresa el mismo resultado, aunque ambas respuestas son legítimas raíces cúbicas de -2.nthroot(-2,3) ans =           -1.2599
sign(x)Regresa un valor de -1 si x es menor que cero, un valor de 0 si x es igual a cero y un valor de +1 si x es mayor que cero.sign(-8) ans=           -1
rem(x,y)Calcula el residuo de x/y.rem(29,3) ans =           2
exp(x)Calcula el valor de ex, donde e es la base para logaritmos naturales, o aproximadamente 2.7183.exp(10) ans =           2.2026e+004
log(x)Calcula Ln(x), el logaritmo natural de x (a la base e).log(10) ans =           2.3026
log10(x)Calcula log10(x), el logaritmo común de x (a la base 10).log10(10) ans =           1

Ejercicio 5.2.1. Cree un vector x de -2 a +2 con un incremento de 1. Su vector debe ser x = [-2, -1, 0, 1, 2]. Encuentre el valor absoluto de cada variable y la raíz cuadrada de cada miembro del vector (código en ilustración 8, solución en ilustración 9).

Ilustración 8. Creación del vector en el editor de Matlab.
Ilustración 9. Resultado del ejercicio mostrado en la ventana de comandos.

Ejercicio 5.2.2. Encuentre la raíz cuadrada de -3 y +3 usando las funciones sqrt y nthroot (código en lustración 10, solución en ilustración 11).

Ilustración 10. Uso de los comandos sqrt y nthroot.
Ilustración 11. Resultado de las raíces positivas y negativas (nthroot no soporta raíces negativas generando un error).

Ejercicio 5.2.3. Cree un vector x de -10 a 11 con un incremento de 3. Encuentre el resultado de x dividido entre 2 y su residuo (código en lustración 12, solución en ilustración 13).

Ilustración 12. Código en el editor de Matlab para generar una matriz con valores incrementales.
Ilustración 13. Resultado de dividir la matriz en 2 y muestra el residuo de la división.

Ejercicio 5.2.4. Use el vector del ejercicio 5.2.3 y encuentre su exponencial (código en lustración 14, solución en ilustración 15).

Ilustración 14. Se aplica la función exponencial en el editor de Matlab.
Ilustración 15. Resultado de la matriz exponencial.

Ejercicio 5.2.5. Use el vector del ejercicio 5.2.3. Encuentre su logaritmo natural y el logaritmo base 10 (código en lustración 16, solución en ilustración 17).

Ilustración 16. Función logarítmica para el vector creado con anterioridad.
Ilustración 17. Resultado de los logaritmos (natural y base 10) de la matriz generada en el ejemplo 1.

Ejercicio 5.2.6. Use la función sign para determinar cuáles de los elementos en el vector x son positivos (código en lustración 16, solución en ilustración 17).

Ilustración 18.Funcion sign ejecutada desde el editor de Matlab.
Ilustración 19. Resultado de los elementos positivos del vector x mostrados en la ventada de comandos de Matlab

5.3.       Funciones de redondeo.

Matlab contiene funciones para algunas diferentes técnicas de redondeo. Aun que lo común seria redondear hacia un valor superior, Matlab tiene funciones que permite el redondeo de distintas maneras, estas se ven resumidas en la tabla 11.

Tabla 11. Funciones de redondeo.

Función.Descripción.Ejemplo.
round(x)Redondea x al entero más cercano.round(5.6) ans =           6
fix(x)Redondea (o trunca) x al entero mas cercano hacia cero. Note que con esta función 8.6 se trunca a 8, no a 9.fix(5.6) ans =           5 fix(-5.6) ans =           -5
floor(x)Redondea x al entero más cercano hacia el infinito negativo.floor(-5.6) ans =           -6
ceil(x)Redondea x al entero más cercano hacia infinito positivo.ceil(-5.6) ans =           -5

Ejercicio 5.3. Las manzanas cuestan $0.52 la pieza. Usted tiene $5.00. ¿Cuántas manzanas puede comprar?

No puede comprar parte de una manzana, y la tienda no permite redondear al número más cercano de manzanas. En vez de ello, requiere redondear hacia abajo. Utiliza la función para redondear hacia abajo el valor de 9.6154 manzanas (código en lustración 20, solución en ilustración 21).

Ilustración 20. Función de redondeo hacia el número más pequeño.
Ilustración 21. Solución de la función para redondear el resultado mostrado en la ventana de comandos de Matlab.

5.4.       Funciones para matemáticas discretas.

Las matemáticas discretas son las matemáticas de números enteros. Matlab incluye funciones para factorizar números, encontrar denominadores y múltiplos comunes, calcular factoriales y explorar números primos. Todas estas funciones requieren escalares enteros como entrada. Estas funciones se pueden ver resumidas en la tabla 12.

Tabla 12. Funciones para matemáticas discretas.

Función.Descripción.Ejemplo.
factor(x)Encuentra los factores primos de x.factor(20) ans =           2          2          5
gcd(x,y)Encuentra el máximo común denominador de x y y.gcd(10,15) ans=           5
lcm(x,y)Encuentra el mínimo común múltiplo de x y y.lcm(2,5) ans =           10
rats(x)Representa x como fracción.rats(1.25) ans =           5/4
factorial(x)Encuentra el valor de x factorial (x!). Un factorial es el producto de todos los enteros menores que x. Por ejemplo, 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720.factorial(6) ans =           720
primes(x)Encuentra todos los números primos menores que x.primes(10) ans =           2          3          5          7
isprime(x)Verifica para ver si x es un número primo. Si lo es, la función regresa 1; si no lo es, regresa 0.isprime(3) ans =           1 Isprime(4) ans =           0

Ejercicio 5.4.1. Factorice el número 322 (código en lustración 22, solución en ilustración 23).

Ilustración 22. Función Factor desde el editor de Matlab.
Ilustración 23. factores del 322 mostrados en la ventana de comandos.

Ejercicio 5.4.2. Encuentre el máximo común denominador de 322 y 6 (código en lustración 24, solución en ilustración 25).

Ilustración 25. Máximo común denominador.
Ilustración 25. Máximo común denominador.

Ejercicio 5.4.3. ¿El número 322 es primo? (Código en lustración 26, solución en ilustración 27).

Ilustración 26. Comando isprime que determina si un número es primo.
Ilustración 27. Resultado de la función determinando que el 322 no es un numero primo.

Ejercicio 5.4.4. ¿Cuántos números primos existen entre 0 y 322? (Código en lustración 28, solución en ilustración 29).

Ilustración 28. Comando primes que determina todos los numero primos del 0 al número que se establezca.
Ilustración 29. Resultado de los números primos del 0-322.

Ejercicio 5.4.5. Aproximación del número π como número racional (código en lustración 30, solución en ilustración 31).

Ilustración 30. Comando rats, para realizar una aproximación racional.
Ilustración 31. Numero pi en forma de numero racional.

Ejercicio 5.4.6. Encuentre 10! (código en lustración 32, solución en ilustración 33).

Ilustración 32. Comando factorial para el número 10 en el editor de Matlab.
Ilustración 33. Factorial del número 10 desplegado en la ventana de comandos.

5.5.       Funciones trigonométricas.

Matlab incluye un conjunto completo de las funciones trigonométricas estándar y las funciones trigonométricas hiperbólicas. La mayoría de estas funciones suponen que los ángulos se expresan en radianes. Para convertir radianes a grados o grados a radianes, se necesita sacar ventaja del hecho de que p radianes es igual a 180 grados:

El código Matlab que realiza estas conversiones es:

grados = radianes*180/pi; y radianes = grados*pi/180;

Las funciones trigonométricas más comunes vienen resumidas en la tabla 13.

Tabla 13. Funciones trigonométricas.

Función.Descripción.Ejemplo.
sin(x)Encuentra el seno de x cuando x se expresa en radianes.sin(0) ans =           0
cos(x)Encuentra el coseno de x cuando x se expresa en radianes.cos(pi) ans =           1
tan(x)Encuentra la tangente de x cuando x se expresa en radianes.tan(pi) ans =           -1.2246e-016
asin(x)Encuentra el arcoseno, o seno inverso, de x, donde x debe estar entre -1 y 1. La fusión regresa un ángulo en radianes entre π/2 y -π/2.asin(-1) ans =           -1.5708
sinh(x)Encuentra el seno hiperbólico de x cuando x se expresa en radianes.sinh(pi) ans =           11.5487
asinh(x)Encuentra el seno hiperbólico inverso de x.asinh(1) ans =           0.8814
sind(x)Encuentra el seno de x cuando x se expresa en grados.sind(90) ans =           1
asind(x)Encuentra el seno inverso de x y reporta el resultado en grados.asind(90) ans =           1

Ejercicio 5.5.1. Calcule sen(2ϴ) para ϴ = 3π (código en lustración 34, solución en ilustración 35).

Ilustración 34. Función sin para encontrar el valor del seno de 2 Theta (tomando el valor de 3pi).
Ilustración 35. Resultado de la función seno.

Ejercicio 5.5.2. Encuentre el cos(ϴ) para 0 ≤ ϴ ≤ 2π; sea ϴ que cambia en pasos de 0.2π (código en lustración 36, solución en ilustración 37).

Ilustración 36. Función cos, para calcular el coseno de theta (toma valores desde 0 hasta 2pi).
Ilustración 37. Resultado del coseno de theta para los valores establecidos.

Ejercicio 5.3.3. Calcula el sen-1(1) (código en lustración 38, solución en ilustración 39).

Ilustración 38. Función asin, para encontrar el seno inverso de un valor.
Ilustración 39. Resultado del seno inverso de 1.

Ejercicio 5.3.4. Calcula el Cos-1(x) para -1 ≤ x ≤ 1; sea x que cambia en pasos de 0.2π (código en lustración 40, solución en ilustración 41).

Ilustración 40, Función cos, encuentra el valor del coseno de theta (toma valores desde -1 a 1).
Ilustración 41. Valores del coseno de cada valor que adquirió theta.
Publica un comentario

Deja un comentario